При подготовке к математической олимпиаде полезно различать два вопроса: «Подходит ли правило к выбранным числам?» и «Верно ли оно для любых чисел, указанных в условии?» Первый вопрос помогает заметить закономерность. Для второго нужен довод, который охватывает все допустимые случаи, либо один контрпример, если правило неверно. Ниже — составленное для этой статьи упражнение, не официальное олимпиадное задание.
Утверждение, которое легко принять слишком рано
Допустим, кто-то сказал: «Если сумма двух натуральных чисел чётная, то оба слагаемых чётные». Начнём с проверок: 2 + 4 = 6, 4 + 8 = 12, 10 + 6 = 16. Во всех трёх случаях сумма чётная и оба слагаемых чётные. Но мы трижды выбрали числа одного вида. Эти записи подтверждают утверждение только для выбранных пар, а не для всех натуральных чисел.
Сначала отделим условие от вывода. Условие: сумма чётная. Вывод: каждое слагаемое чётное. Чтобы опровергнуть такую фразу, нужно найти пару, у которой условие выполняется, а вывод — нет. Пара 1 и 3 подходит: 1 + 3 = 4, сумма чётная, но оба слагаемых нечётные. Это и есть контрпример. Пара 1 и 2 не годится: её сумма нечётная, то есть исходное условие не выполнено.
Искать другой тип, а не просто больше чисел
После трёх пар чётных чисел можно проверить ещё сто таких пар и ничего нового не узнать. Лучше спросить, какие сочетания вообще возможны: чётное с чётным, чётное с нечётным, нечётное с нечётным. Этот простой список направляет поиск к пропущенному случаю. Два нечётных числа оставляют по одной «лишней» единице сверх полных пар; вместе эти единицы образуют ещё одну пару. Поэтому их сумма чётная.
Контрпример должен точно соответствовать области задачи. Если условие говорит о положительных целых числах, нуль не следует предлагать как опровержение. Если речь только о числах от 1 до 5, числа 7 и 9 тоже находятся вне области. Перед поиском полезно подчеркнуть слова «натуральные», «различные», «меньше десяти» или другие ограничения.
Что записать вместо «я проверил много»
Для опровержения нашего утверждения достаточно короткой полной записи: «Возьмём натуральные числа 1 и 3. Их сумма 4 чётная, однако ни 1, ни 3 не является чётным. Следовательно, утверждение неверно». В ней видны и условие, и нарушенный вывод. Фраза «нашёл исключение» без чисел и проверки слабее: читателю придётся угадывать, действительно ли пример подходит.
Если же утверждение верно для всех натуральных чисел, длинный список удачных примеров всё равно не охватывает бесконечное множество. Нужен общий аргумент. Есть оговорка: когда условие задаёт конечный набор и каждый допустимый случай проверен, полный перебор может быть доказательством. Но несколько понравившихся чисел из большого или бесконечного набора — не полный перебор.
Попробуйте по тому же правилу проверить новую авторскую фразу: «Если произведение двух натуральных чисел чётное, то оба множителя чётные». Пара 2 и 3 даёт 2 × 3 = 6: условие выполнено, а второй множитель нечётный. Это ещё один контрпример, а не задача из опубликованного тура. В тетради можно оставить не только ответ, но и вопрос, который помог его найти: «Как сохранить условие и нарушить вывод?»
В учебных материалах Открытого университета о математическом доказательстве и о закономерностях также различаются проверка отдельных случаев и обоснование общего утверждения. Числовые примеры в этой статье составлены самостоятельно.
